Gracias por visitar nature.com.Está utilizando una versión de navegador con soporte limitado para CSS.Para obtener la mejor experiencia, le recomendamos que utilice un navegador más actualizado (o desactive el modo de compatibilidad en Internet Explorer).Mientras tanto, para garantizar un soporte continuo, mostramos el sitio sin estilos ni JavaScript.Carrusel con tres diapositivas mostradas a la vez.Use los botones Anterior y Siguiente para navegar por tres diapositivas a la vez, o los botones de puntos de diapositivas al final para saltar tres diapositivas a la vez.Steven D. Rogers, Austin Graf, … Qiang LinGefen Baranes, Ron Ruimy, … Ido KaminerManuel Erhard, Mario Krenn y Anton ZeilingerStephen C. Wein, Juan C. Loredo, … Carlos Antón-SolanasEileen Otte, Carmelo Rosales-Guzmán, … Andrew ForbesKarolina Sedziak-Kacprowicz, Mikołaj Lasota y Piotr KolenderskiAndrew S. Maxwell, Lars Bojer Madsen y Maciej LewensteinStefan Lerch y André StefanovZhedong Zhang, Tao Peng, … Marlan O. Scullynpj Quantum Information volumen 7, Número de artículo: 42 (2021) Citar este artículoLa ingeniería de entrelazamiento juega un papel central en las tecnologías mejoradas cuánticamente, con plataformas físicas potenciales que superan a sus contrapartes clásicas.Sin embargo, los electrones libres permanecen en gran parte inexplorados a pesar de su gran capacidad para codificar y manipular información cuántica, debido en parte a la falta de un marco teórico adecuado.Aquí vinculamos los conceptos teóricos de la información cuántica con las fuentes de electrones libres disponibles.Específicamente, consideramos las interacciones entre los electrones que se propagan cerca de la superficie de un medio que soporta polaritones y estudiamos el entrelazamiento inducido por el acoplamiento por pares.Estas correlaciones dependen del intervalo de interacción controlado y del ancho de banda inicial de electrones.Mostramos que los largos tiempos de interacción de los electrones de banda ancha extienden su coherencia temporal.Esto, a su vez, se revela a través de un pico Hong-Ou-Mandel ensanchado y está asociado con una mayor entropía de entrelazamiento.Luego introducimos una base discreta de modos temporales electrónicos y discriminamos entre ellos a través de la detección de coincidencias con una sonda con forma.Esto allana el camino para la transferencia de información cuántica ultrarrápida por medio de electrones libres, haciendo accesible el gran alfabeto que abarcan en el dominio del tiempo.Los grados cuánticos de libertad ocupan un gran espacio de parámetros en comparación con sus contrapartes clásicas.Esta propiedad los convierte en un desafío para la simulación en computadoras clásicas.No obstante, también les dota de una gran capacidad de información, útil para nuevos paradigmas computacionales y metrológicos1,2,3.Los pares de fotones entrelazados han sido durante mucho tiempo el caballo de batalla de las demostraciones de mejora cuántica en el ámbito óptico, con aplicaciones en metrología4,5, generación de imágenes6,7,8,9,10,11 y espectroscopia11,12,13,14.Un concepto clave en la generación de tales estados útiles es el inicio de interacciones bien monitoreadas entre variables continuas.Estos últimos exhiben espectros de entrelazamiento ricos y un gran espacio de estado en el que se puede registrar y acceder a la información15,16,17,18,19.Estos conceptos aún no se han abordado en el campo bien establecido de las técnicas de metrología basadas en electrones libres, como la espectroscopia y la microscopia20.Diseñar entrelazamientos controlados de fuentes de electrones libres constituye el principal desafío, y esto es precisamente lo que abordamos aquí.Recientemente se han demostrado extraordinarias capacidades de formación de haz de electrones en microscopios electrónicos que combinan elementos ópticos ultrarrápidos21,22,23.Conceptos revolucionarios como los qubits de electrones libres24 y el control cuántico inducido por cavidades25,26,27 están disponibles, lo que apunta hacia el surgimiento de tecnologías cuánticas de luz y electrones de próxima generación.Mientras que los fotones mantienen la coherencia a grandes distancias, los electrones se descoheren rápidamente debido a su fuerte acoplamiento ambiental.Combinado con los esquemas de control mencionados anteriormente, esto sugiere que los electrones aislados proporcionan sondas cuánticas valiosas cuando se exponen selectivamente a objetivos de interés.Mostramos que los electrones que pasan por medios que soportan polaritones pueden experimentar una interacción controlada geométricamente que resulta en un enredo.Este efecto está estrechamente relacionado con el emparejamiento ampereano de electrones discutido en las refs.28,29,30, que se muestra aquí para inducir un estado entrelazado de Einstein-Podolsky-Rosen en el límite de tiempo de interacción largo.Aquí, estudiamos las correlaciones cuánticas generadas por interacciones abruptas de pares de electrones con un medio vecino, como se muestra en la Fig. 1, durante un intervalo de tiempo controlado TI.Exploramos el estado transitorio generado por interacciones abruptas, así como el límite de estado estacionario en el régimen perturbativo.Al variar dos parámetros de control, el tiempo de interacción TI y el ancho de banda de electrones inicial σe, escaneamos efectivamente el grado de entrelazamiento.El entrelazamiento en la dimensión longitudinal se caracteriza por la descomposición de Schmidt de la función de onda.Luego calculamos la probabilidad de coincidencia y la mostramos frente al grado de enredo.Denotamos los modos temporales electrónicos (ETM) de estado propio resultantes en analogía con sus contrapartes fotónicas31,32.Finalmente, proponemos una técnica que es útil para la discriminación en tiempo real entre ETM, esencial para la tomografía de estado y las aplicaciones relacionadas con el procesamiento de información cuántica.a Un par de electrones no correlacionados \(\left|{{{\Psi }}}_{0}\right\rangle\) se propaga paralelo a la superficie plana de una película que soporta polaritones de longitud L a lo largo de la dirección de propagación, ancho transversal lx ≫ L, y espesor d = 1nm.b Distribución inicial del componente de momento longitudinal, centrada alrededor de k0 con \({\sigma }_{\,\text{e}\,}^{2}\) esparcida.c Orientación espacial de la varianza en la dispersión del momento transversal \({\sigma }_{x,y}^{2}\) .Después de un tiempo de interacción TI, se obtiene un par correlacionado \(\left|{{\Psi }}\left({T}_{\text{I}}\right)\right\rangle\).La amplitud del par de electrones se obtiene del acoplamiento electrón-polaritón subyacente.Consideramos electrones libres que viajan con un momento medio k0, como se muestra en la Fig. 1. El hamiltoniano completo viene dado por tres contribuciones: \({\mathcal{H}}={{\mathcal{H}}}_{\text{ e}}+{{\mathcal{H}}}_{\phi }+{{\mathcal{H}}}_{\text{e}-\phi }\) .El término cinético de los electrones se describe mediante \({{\mathcal{H}}}_{\text{e}}\), los grados de libertad del campo electromagnético combinados con los polaritones de la superficie están contenidos en \({{\mathcal{ H}}}_{\phi }\) 33,34, y el acoplamiento campo-electrón es \({{\mathcal{H}}}_{\text{e}-\phi }\) (ver el " sección Métodos”).Se supone que dos electrones inicialmente distinguibles ilustrados en la Fig. 1 están preparados en un estado estadísticamente independiente, descrito por el estado del producto \(\left|{{{\Psi }}}_{0}\right\rangle =\int_{ {{\Omega }}}d{{\boldsymbol{k}}}_{1}d{{\boldsymbol{k}}}_{2}{\alpha }_{{s}_{1}}^ {\left(1\right)}\left({{\boldsymbol{k}}}_{1}\right){\alpha }_{{s}_{2}}^{\left(2\right )}\left({{\boldsymbol{k}}}_{2}\right){c}_{{s}_{1}}^{\daga }\left({{\boldsymbol{k}} }_{1}\right){c}_{{s}_{2}}^{\daga }\left({{\boldsymbol{k}}}_{2}\right)\left|{{ \emptyset}}\right\rangle\) .Aquí \({c}_{{s}_{i}}^{\dagger }\left({{\boldsymbol{k}}}_{i}\right)\) representa un operador de creación de un estado electrónico con momento ki y espín si, s1 ≠ s2 son polarizaciones conocidas, Ω es el dominio de integración y \(\left|{{\emptyset}}\right\rangle\) denota un estado sin electrones.La amplitud de un solo electrón \({\alpha }_{{s}_{i}}^{\left(i\right)}\left({{\boldsymbol{k}}}_{i}\right) \) está determinada por el proceso de preparación, y asumimos que es una Gaussiana centrada alrededor de k0 a lo largo del eje de propagación en nuestros cálculos.Las polarizaciones de espín opuesto permiten abordar cada electrón por separado y desempeñar un papel central en los protocolos de metrología mejorados cuánticamente (elaborados en la sección "Métodos").A medida que los electrones pasan cerca de la película, intercambian energía a través del medio.La interacción mediada por los polaritones decae exponencialmente con la distancia desde el medio, validando el uso del enfoque perturbativo (ver Sec. S1 del SI).Expandiendo la evolución en el cuadro de interacción a segundo orden, obtenemos la función de onda del par de electrones en su forma genéricadonde λ etiqueta un conjunto de parámetros de control.En la presente configuración, λ parametriza el tiempo de interacción adimensional TI y el ancho de banda inicial de electrones σe.Estamos interesados ​​en la dinámica de la componente longitudinal del par de electrones \(\left({k}_{1},{k}_{2}\right)\) .Trazando los momentos transversales, obtenemos una expresión para \({{{\Phi }}}_{{s}_{1},{s}_{2}}^{\lambda }\left({k} _{1},{k}_{2}\right)\) , que denotamos como la amplitud del par (ver Ec. (5) en la sección "Métodos").La amplitud del par exhibe un entrelazamiento variable continuo en la mayor parte del espacio de parámetros explorado.Es útil explorar el espacio de parámetros de la amplitud del par realizando una descomposición de Schmidt.El teorema de Schmidt-Mercer nos permite expresar un estado inseparable como una superposición de estados separables,donde las etiquetas de giro se omiten por brevedad.Los estados propios longitudinales \(\left\{{\psi }_{n},{\phi }_{n}\right\}\) aparecen en pares de ETM.Si se detecta el estado ψn, su contraparte ocupa el estado ϕn con absoluta certeza.Los valores propios pn reflejan la probabilidad de detectar el modo n-ésimo.La representación del momento conjunto de la amplitud del par se muestra en la Fig. 2a para los valores seleccionados de los parámetros de control (es decir, un tiempo de interacción adimensional TI y el ancho de banda de electrones σeλp).El tiempo de interacción adimensional está dado por \({T}_{\text{I}}=L{\lambda }_{\text{C}}/\beta {\lambda }_{\text{p}\, }^{2}\) , donde β = v/c es la velocidad del electrón relativa a la velocidad de la luz, λC es la longitud de onda Compton del electrón, L es la longitud del medio a lo largo de la dirección principal de propagación y λp es la longitud de onda del polaritón en la película (ver Sec. S1 de SI).Empleamos la entropía de colisión (Rényi) \({H}_{2}\left[\lambda \right]=-\mathrm{log}\,\left({\sum }_{n}{p}_{ n}^{2}\right)\) y el número de Schmidt \(\kappa \equiv {2}^{{H}_{2}\left[\lambda \right]}\) como medidas para el entrelazamiento16,17, 35,36.La entropía cuantifica el grado de incertidumbre con respecto a los ETM instantáneos, mientras que κ es el número efectivo de ETM participantes.El barrido de los parámetros de control en todo el rango dinámico revela dos regímenes opuestos altamente correlacionados, como se muestra en la Fig. 2b, c.Para grandes σeλp y TI, observamos un entrelazamiento creciente y momentos correlacionados debido a la conservación de energía combinada con largos tiempos de intercambio.La amplitud correspondiente se captura en Φ1 de la Fig. 2a, de acuerdo con los resultados informados para la contraparte fotónica16.Para tiempos de interacción cortos, los electrones de banda estrecha presentan momentos anticorrelacionados que se asemejan a las características mejoradas en el mapa de pérdida-ganancia presentado en la ref.25, debido al aumento del acoplamiento luz-electrón27.Debido al corto tiempo de interacción, se introducen grandes fluctuaciones de energía en el marco del sistema conjunto (electrones + película), lo que permite una amplia gama de momentos anticorrelacionados visibles en Φ5 de la Fig. 2a.En este régimen, observamos un grado de enredo que crece rápidamente, capturado por el número creciente de ETM participantes.La transición entre los regímenes correlacionados positiva y negativamente se caracteriza por un número de Schmidt muy bajo \(\left(\kappa \approx 1\right)\) .Esto corresponde a un estado casi separable, para el cual se requiere un solo ETM, correspondiente a Φ3 en la Fig. 2a.En este régimen, los electrones pueden considerarse aproximadamente desenredados a todos los efectos prácticos.El espectro de entrelazamiento representado en la Fig. 2d se obtiene a partir de la descomposición de Schmidt de la amplitud que se muestra en el extremo izquierdo de la Fig. 2e, para la cual κ ≈ 6. Los primeros tres ETM (orden más bajo) se visualizan junto con sus correspondientes secciones transversales .a La amplitud del par desnudo \({{{\Phi }}}_{{s}_{1},{s}_{2}}^{\lambda }\left({k}_{1},{ k}_{2}\right)\) se presenta para valores de parámetros de control seleccionados, cubriendo las áreas clave del rango dinámico.Las amplitudes etiquetadas como Φi se calculan en los tiempos de interacción adimensionales \({T}_{\text{I}}=\left(1{0}^{-2},1{0}^{-3},1{ 0}^{-5},1{0}^{-5},1{0}^{-5}\right)\) , con anchos de banda \({\sigma }_{\text{e}}= \frac{2\pi }{{\lambda }_{\text{p}}}\left(2,2,2,1/2,1/20\right)\) , respectivamente.b Entropía de colisión frente a TI y σe, cubriendo todo el rango dinámico desde \(\left({{{\Phi }}}_{1}\right)\) hasta anticorrelacionada \(\left({{{\Phi } }}_{5}\right)\) momentos.c Variación del número de Schmidt κ a lo largo de la curva punteada que se muestra en b, exponiendo el modo de tiempo corto de mallado de electrones de banda estrecha.d Espectro de Schmidt de la amplitud mostrada en e \(\left(\kappa \approx 6\right)\) .Los estados propios correspondientes se muestran en el recuadro con colores coincidentes.e Amplitud del par en el espacio de impulso conjunto, donde mostramos los primeros tres modos (orden más bajo).Un enfoque común para probar las correlaciones cuánticas es medir la probabilidad de coincidencia \({{\mathcal{P}}}_{{\boldsymbol{12}}}\left(\delta l\right)=\int {\rm{ d}}t\ {\rm{d}}\tau \langle {{{\Psi }}}_{{\boldsymbol{1}}}^{\dagger }\left(t\right){{{\ Psi }}}_{{\boldsymbol{2}}}^{\daga }\left(t+\tau \right){{{\Psi }}}_{{\boldsymbol{2}}}\left(t+ \tau \right){{{\Psi }}}_{{\boldsymbol{1}}}\left(t\right)\rangle\) , asumiendo una configuración experimental como se muestra en la Fig. 3a.Consideramos divisores de haz balanceado (BSs) y obtenemosdonde n,m etiqueta los ETM y \({{\mathcal{I}}}_{nm}\left(\delta l\right)=\int {\rm{d}}k\;{\phi }_{ n}^{* }\left(k\right){\phi }_{m}\left(k\right){{\rm{e}}}^{-\frac{i}{\hslash }{ E}_{k}\delta l/{\boldsymbol{v}}}\) (ver Sec. S3 del SI).La Figura 3b muestra \({{\mathcal{P}}}_{12}\left(\delta l\right)\) como una función del desplazamiento de BS, dispuesta en un grado creciente de entrelazamiento.La probabilidad varía de 1/2 (completamente aleatorio) a la unidad (totalmente antiagrupado) debido a la interferencia de dos partículas en el interferómetro Mach-Zehnder representado en la Fig. 3a.La interferencia de dos partículas juega un papel crucial en la interferometría de Hong-Ou-Mandel (HOM), donde se revela una caída de Pauli37,38,39.En el panel izquierdo de la Fig. 3b, escaneamos TI mientras fijamos σe = 4π/λp en el rango de banda ancha.Curiosamente, encontramos que para el mayor grado de entrelazamiento, el pico de probabilidad se extiende sobre un rango más amplio de δl.Esto se puede atribuir a la expansión temporal de la función de onda de los electrones debido a los largos tiempos de interacción.En el recuadro, vemos que κ crece con TI de manera lineal por partes, lo que proporciona una valiosa herramienta de diseño para un estado objetivo deseado (ver Sec. S3 del SI).En el panel derecho, σe varía mientras que TI se fija en el rango de interacción largo y se encuentra un comportamiento similar.Encontramos que \(\kappa \propto {\sigma }_{\,\text{e}\,}^{2}\) , que es una consecuencia directa del paquete de ondas gaussianas inicial, junto con las relaciones lineales emergentes de κ y el tiempo de interacción.a Los pares de electrones entrantes se separan mediante un divisor de haz de electrones (BS) y, posteriormente, se combinan con otra BS con una posición de barrido controlable, lo que proporciona una diferencia de trayectoria relativa δl.Los dos puertos de salida D1 y D2 se miden en coincidencia.b Probabilidad de coincidencia \({{\mathcal{P}}}_{{\boldsymbol{12}}}\) para la diferencia de trayectoria variable δl/λp y el número de Schmidt (grado de entrelazamiento).El panel izquierdo corresponde al tiempo de interacción variable para σe fijo = 4π/λp.En el panel derecho, el tiempo adimensional se fija en TI = 5 × 10−3 mientras se escanea el ancho de banda inicial.Los recuadros muestran las relaciones entre los parámetros de control y el número de Schmidt.En la Fig. 4a, se presenta la detección de coincidencia (interferencia HOM) del ETM entrante instantáneo con un modo de sonda conocido etiquetado como ϕp.Los primeros tres ETM se extraen de la descomposición de Schmidt de la amplitud que se muestra en la Fig. 2e.Estos modos son los estados propios de la matriz de densidad de un solo electrón reducida, por lo tanto, en cada realización se detecta uno de esos modos con probabilidad pn.Cuando el modo entrante coincide con el modo de sonda con forma, la señal de coincidencia muestra un pico para una diferencia de trayectoria que se desvanece, como se muestra en la figura 4b.Contando la tasa de aparición de cada modo por separado, podemos deducir el vector de probabilidad pn y así caracterizar el estado cuántico.Más allá de la tomografía de estado, esto también podría usarse en coincidencia con operaciones paralelas en su gemelo ETM, realizando protocolos de procesamiento de información más sofisticados.a Un par de electrones entrante preparado en una superposición de ETM se separa mediante una primera BS, luego se combina con un modo de sonda (con forma) ϕp y finalmente se mide en coincidencia.b Resultados de coincidencia de la sonda con tres posibles modos entrantes \(n,p\in \left\{1,2,3\right\}\) , en función de la diferencia de trayectoria δl.El patrón de interferencia muestra una mayor respuesta para sondas idénticas y ETM entrante.Los campos cercanos que se desarrollan en la superficie de los materiales que soportan polaritones proporcionan un enfoque novedoso para generar y dar forma a las correlaciones cuánticas en partículas cargadas y, en particular, en electrones libres.Si bien tales mecanismos de emparejamiento se suprimen en la materia debido al ruido ambiental (p. ej., térmico), los electrones estructurados en un haz sufren eventos de dispersión significativamente menores, lo que permite que las interacciones coherentes persistan durante intervalos de espacio-tiempo más largos.Hemos demostrado que los pares de electrones cerca de los límites del material que soporta el polaritón experimentan un acoplamiento no trivial que genera un entrelazamiento.Tales correlaciones se expresan matemáticamente por la aparente inseparabilidad de la amplitud del par en la ecuación.(1), dando lugar a los resultados mostrados en la Fig. 2. La descomposición de Schmidt nos permite expresar la amplitud del par utilizando un conjunto de estados factorizados, proporcionando medidas útiles para el entrelazamiento bipartito16,17,40,41,42,43,44 ,45,46.Este marco revela relaciones simples entre los parámetros de control y la evolución resultante de las correlaciones cuánticas en la configuración anterior.Tales propiedades son deseables para la ingeniería de entrelazamiento.La gran dimensionalidad del espacio de Hilbert que ocupan los ETM los convierte en atractivos portadores de información cuántica ultrarrápidos.Esto tiene aplicaciones potenciales en la metrología de electrones mejorada cuánticamente, como se propone utilizando configuraciones ópticas14,47.Por ejemplo, midiendo el momento de uno de los electrones del par y la posición del otro, se pueden obtener imágenes superresueltas.Esta clase de mejoras cuánticas se beneficia del hecho de que los observables (locales) de una sola partícula no son conjugados de Fourier del estado compuesto (extendido).Este trabajo plantea múltiples preguntas abiertas sobre los efectos indirectos de la temperatura, la huella de la topología media en el espectro de entrelazamiento, el entrelazamiento a lo largo del plano transversal y las correlaciones cuánticas de orden superior entre electrones y materia.Estos son solo algunos ejemplos del campo emergente de la metrología cuántica de electrones libres.Desde el punto de vista de la teoría de la información, el amplio alfabeto que abarcan los ETM promueve su candidatura para tareas de comunicación y procesamiento de información cuántica de haces de electrones.Esto plantea interrogantes sobre la capacidad de información del canal en presencia de ruido, proporcionando una dirección para estudios futuros.Primero, es útil discutir la importancia de la distinguibilidad en el estado inicial del producto \(\left|{{{\Psi }}}_{0}\right\rangle =\int_{{{\Omega }}}{\ rm{d}}{{\boldsymbol{k}}}_{1}{\rm{d}}{{\boldsymbol{k}}}_{2}{\alpha }_{{s}_{1 }}^{\left(1\right)}\left({{\boldsymbol{k}}}_{1}\right){\alpha }_{{s}_{2}}^{\left( 2\right)}\left({{\boldsymbol{k}}}_{2}\right){c}_{{s}_{1}}^{\daga }\left({{\boldsymbol{ k}}}_{1}\right){c}_{{s}_{2}}^{\dagger }\left({{\boldsymbol{k}}}_{2}\right)\left |{{\emptyset}}\right\rangle\) .Para beneficiarse del estado entrelazado en un sentido metrológico-cuántico, uno depende de manera crucial de la capacidad de abordar cada una de las partículas por separado, exponiendo así efectos no locales (p. ej., polarización de fotones13,16).Al abordar cada partícula por separado utilizando un grado de libertad específico (aquí el espín), se pueden medir cantidades conjugadas, como el momento de una y la posición de la otra, con mayor sensibilidad48,49.(Complementario a las correlaciones cuánticas de fermiones indistinguibles reveladas por el rango de Slater50.) Consideramos que el estado inicial se prepara utilizando una fuente de electrones polarizados por espín, lo que permite la manipulación separada de una sola partícula antes de la interacción51,52,53.Una forma de intentar tal preparación de estado es mediante la clasificación de energía de electrones ionizados por una secuencia de pulsos que genera polarización de espín alterada54,55.La amplitud del par se obtiene perturbativamente en la imagen de interacción (Sec. S1 del SI).El hamiltoniano completo del sistema contiene tres contribuciones: \({\mathcal{H}}={{\mathcal{H}}}_{\text{e}}+{{\mathcal{H}}}_{\ phi }+{{\mathcal{H}}}_{\text{e}-\phi }\) .El término cinético de los electrones viene dado por \({{\mathcal{H}}}_{\text{e}}={\sum }_{{\boldsymbol{k,s}}}{\epsilon }_{{ \boldsymbol{k}}}{c}_{{\boldsymbol{k,}}s}^{\dagger }{c}_{{\boldsymbol{k,}}s}\) , donde el operador \( {c}_{{\boldsymbol{k}},s}\left({c}_{{\boldsymbol{k}},s}^{\dagger }\right)\) crea (aniquila) un modo electrónico con momento k y espín s obedeciendo las relaciones de anticonmutación \(\left\{{c}_{{\boldsymbol{k}},s},{c}_{{\boldsymbol{k}}^{\prime} , s^{\prime} }\right\}={\delta }_{{\boldsymbol{k}}{\boldsymbol{k}}^{\prime} }{\delta }_{ss^{\prime} }\) .El término \({{\mathcal{H}}}_{\phi }\) describe los grados de libertad del campo electromagnético combinados con los polaritones superficiales en el marco de la electrodinámica cuántica macroscópica33,34.El acoplamiento electrón-campo se expresa mediante el hamiltoniano34,56donde λC = h/mec es la longitud de onda Compton del electrón, mientras que e y me son su carga y masa, respectivamente.Hemos empleado el indicador de Weyl, estableciendo el potencial escalar en cero e introducido \({\bf{A}}\left({\bf{q}}\right)\), el operador de campo vectorial en el espacio de momento.El campo vectorial en la electrodinámica cuántica macroscópica se expresa en términos del tensor de Green, que encapsula las propiedades geométricas y espectrales del medio.Procediendo a calcular el primer orden no trivial (segundo), obtenemos la forma general de la Ec.(1).Consideramos estados iniciales gaussianos de distancia media y0 = 5 nm de la película delgada y σy = 0,5 nm (ver Fig. 1).Tomando el límite largo de lx y eligiendo \({\sigma }_{x}=\frac{2\pi }{{\lambda }_{\text{p}}}\) , trazamos las componentes transversales y obtenemosAquí, \({\mathcal{N}}\) es una constante de normalización, T es el tiempo de interacción y \(\chi \left(q\right)\) se obtiene trazando el vector de onda lateral \({{ \boldsymbol{q}}}_{\parallel }=\left({q}_{x},{q}_{y}\right)\) en la imagen de interacción (Sec. S1 de SI).Además, hemos invocado la aproximación sin retroceso para pequeños intercambios de cantidad de movimiento en relación con k0, lo que da como resultado un intercambio lineal de electrones y energía ϵk+q − ϵk ≈ \(\hbar\) q ⋅ v, donde q es el vector de onda del polaritón y v es la velocidad del electrón.Para encontrar el conjunto de ETMs \(\left\{{\psi }_{n},{\phi }_{n}\right\}\) y sus pesos pn, resolvemos las ecuaciones integrales de valores propios \({p }_{n}{\psi }_{n}\left(k\right)=\int {\rm{d}}k^{\prime} \ {K}_{1}\left(k,k ^{\prime} \right){\psi }_{n}\left(k^{\prime} \right)\) y \({p}_{n}{\phi }_{n}\left (k\right)=\int {\rm{d}}k^{\prime} \ {K}_{2}\left(k,k^{\prime} \right){\phi }_{n }\left(k^{\prime} \right)\) (Sec. S2 del SI).Los núcleos, que se encuentran a partir de las reducciones \({K}_{1}\left(k,k^{\prime} \right)=\int {\rm{d}}{k}_{2}\ {{{\Phi }}}_{{s}_{1}{s}_{2}}^{\lambda }\left(k,{k}_{2}\right){{{\Phi }}}_{{s}_{1}{s}_{2}}^{\lambda * }\left(k^{\prime} ,{k}_{2}\right)\) y \ ({K}_{2}\left(k,k^{\prime} \right)=\int {\rm{d}}{k}_{1}\ {{{\Phi }}}_{ {s}_{1}{s}_{2}}^{\lambda }\left({k}_{1},k\right){{{\Phi }}}_{{s}_{ 1}{s}_{2}}^{\lambda * }\left({k}_{1},k^{\prime} \right)\) , se puede interpretar como funciones de correlación de un solo electrón.Para obtener el espectro de Schmidt y caracterizar el grado de entrelazamiento, discretizamos los núcleos y resolvemos numéricamente las ecuaciones integrales de valores propios.Hemos utilizado una discretización del kernel de 800 × 800 y hemos repetido el procedimiento para cada parámetro de control por separado.La amplitud del par utilizada para la generación de los núcleos implica la integración sobre los grados de libertad del polaritón.Hemos hecho esto numéricamente para cada conjunto de parámetros de control λ utilizando la integración numérica directa de la ecuación.(5) en una cuadrícula uniforme.Se varió el tamaño del paso para satisfacer la convergencia del número de Schmidt.El criterio de convergencia adoptado en este esquema es \(\max \left\{2\left({\kappa }_{N+1}-{\kappa }_{N}\right)/\left({\kappa } _ {N+1}+{\kappa }_{N}\right)\right\}\le 0.05\) , donde N es el número de puntos de datos dentro de un rango constante en el tamaño de kernel dado.Los principales resultados de este manuscrito se componen de cálculos analíticos y numéricos.Todos los datos generados, analizados o necesarios para reproducir los resultados de este estudio se incluyen en este artículo y su archivo de información complementaria.Helstrom, CW Teoría de estimación y detección cuántica.Estado J.física1, 231–252 (1969).Artículo ADS MathSciNet Google ScholarHelstrom, CW Resolución de fuentes puntuales de luz analizadas por la teoría de detección cuántica.Trans. 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